【线性代数笔记】关于两个矩阵相乘等于零矩阵（AB=O）

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已于 2022-02-13 22:10:03 修改

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于 2021-12-16 19:01:35 首次发布

线性代数

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该博客探讨了矩阵乘积为零矩阵的条件及其数学含义。主要内容包括：(1)证明当AB=O时，B的列向量是线性方程组Ax=0的解；(2)阐述r(A)+r(B)≤n的秩加性不等式；(3)分析如果A和B均非零，那么A的列向量组和B的行向量组线性相关。这些理论在理解线性代数的秩和解空间性质上至关重要。

定理1 设矩阵Am×nA_{m\times n}Am×n​，Bn×sB_{n\times s}Bn×s​满足AB=OAB=OAB=O，则

(1) BBB的各列均为齐次线性方程组Ax=0A\bm{x}=\bm{0}Ax=0的解；

(2) r(A)+r(B)≤nr(A)+r(B)\le nr(A)+r(B)≤n；

(3) 若A≠OA\ne OA​=O且B≠OB\ne OB​=O，则AAA的列向量组线性相关，BBB的行向量组线性相关。

证明：

(1) 将BBB按列分块，得B=(b1,b2,…,bs)B=(b_1, b_2, \dots,b_s)B=(b1​,b2​,…,bs​)，其中bib_ibi​是nnn维列向量，则AB=A(b1,b2,…,bs)AB=A(b_1, b_2, \dots,b_s)AB=A(b1​,b2​,…,bs​)，再由分块运算法则得AB=(Ab1,Ab2,…,Abs)=O=(0,0,…,0)AB=(Ab_1, Ab_2, \dots,Ab_s)=O=(\bm{0},\bm{0},\dots,\bm{0})AB=(Ab1​,Ab2​,…,Abs​)=O=(0,0,…,0)，故

{Ab1=0Ab2=0…Abs=0\begin{cases}Ab_1=\bm{0}\\Ab_2=\bm{0}\\\dots\\Ab_s=\bm{0}\end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​Ab1​=0Ab2​=0…Abs​=0​

则BBB的各列bib_ibi​均为齐次线性方程组Ax=0A\bm{x}=\bm{0}Ax=0的解。

(2) 由基础解系的性质可知bib_ibi​一定可以被齐次线性方程组Ax=0A\bm{x}=\bm{0}Ax=0的基础解系线性表示，故r(B)≤r(A的基础解系)=n−r(A)r(B)\le r(A\text{的基础解系})=n-r(A)r(B)≤r(A的基础解系)=n−r(A)。

∴r(A)+r(B)≤n\therefore r(A)+r(B)\le n∴r(A)+r(B)≤n。

(3) 由(1)知齐次线性方程组Ax=0A\bm{x}=\bm{0}Ax=0有非零解。将AAA按列分块，得A=[α1α2…αn]A=\begin{bmatrix}\bm{\alpha}_1&\bm{\alpha}_2&\dots&\bm{\alpha}_n\end{bmatrix}A=[α1​​α2​​…​αn​​]，结合x=[x1x2⋮xn]\bm{x}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}x=⎣⎢⎢⎢⎡​x1​x2​⋮xn​​⎦⎥⎥⎥⎤​得Ax=x1α1+x2α2+⋯+xnαn=0A\bm{x}=x_1\bm{\alpha}_1+x_2\bm{\alpha}_2+\dots+x_n\bm{\alpha}_n=\bm{0}Ax=x1​α1​+x2​α2​+⋯+xn​αn​=0，其中x≠0\bm{x}\ne\bm{0}x​=0，因此α1,α2…,αn\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2\dots,\bm{\alpha}_nα1​,α2​…,αn​线性相关，即AAA的列向量线性相关。再在原式两端取转置得BTAT=OT=OB^TA^T=O^T=OBTAT=OT=O，则BTB^TBT的列向量线性相关，故BBB的行向量线性相关。